NOTIONS DE TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

TRIGONOMETRIE SPHERIQUE

	CONTENU : Mis à jour octobre 2005 I Définitions de base Triangle sphérique Angles remarquables II Relations trigonométriques Relation générale Relation des sinus Résumé de l'ensemble des relations trigonométriques III Triangle rectangle IV Excès sphérique et surface du triangle

Ce chapitre est traite de compléments de trigonométrie sphérique qu'on ne peut pas ne pas connaître, tant l'usage en est répandu en astronautique et astronomie.

I DEFINITIONS DE BASE:

1°) TRIANGLE SPHERIQUE :

Considérons une sphère de centre O et de rayon unité, et sur sa surface 3 points A, B, C non tous trois situés sur un même grand cercle de la sphère. Ces 3 points constituent les sommets d'un TRIANGLE SPHERIQUE, dont les cotés sont les arcs des 3 grands cercles de la sphère, qui passent respectivement par AB, AC, BC.

2°) ANGLES :

On peut alors définir des angles.

Angles au sommet A, B, C : Par exemple Â ou A : on désigne ainsi, l'angle inférieur à 180°, arithmétique formé par les tangentes Au et Av aux deux grands cercles passant par A. De même pour les autres sommets.

Angles au centre a, b, c : Par exemple â ou a est l'angle arithmétique inférieur à 180°, en O entre les directions OB et OC. Souvent on dit qu'on "voit" le côté BC sous l'angle au centre â.

NB : si un des angles au sommet est égal à 90°, on dit que le triangle est rectangle.

REMARQUE : La somme des angles au sommet n'est pas comme pour un triangle plan, égale à 180°, mais supérieure à 180°. Voir plus loin la notion d'excès sphérique

II RELATIONS TRIGONOMETRIQUES :

Nous allons établir les relations les plus générales dans un triangle sphérique quelconque.

1°) RELATION GENERALE :

Les vecteurs OB et OC sont décomposés sur u et w (resp v et w ), ce qui donne :

ce qui donne

2°) RELATION DES SINUS :

Il est clair que les sinus de tous les angles sont positifs, ainsi on peut écrire :

La dernière relation est invariante par permutation circulaire des variables a, b, c. Donc nous obtenons une relation remarquable du triangle sphérique, appelée RELATION DES SINUS :

3°) RELATIONS GENERALES :

AUTRES RELATIONS PAR PERMUTATION :

La manipulation trigonométrique permettrait aussi d'établir ( ce que nous ne faisons pas ) :

4°) EXEMPLE : Distance entre 2 points de la terre:

Soient 2 lieux donnés par leur coordonnées géographiques, longitude et latitude, B=( Lo, lo ), C=( L1, l1 ). Le rayon terrestre étant noté R_T, le lecteur établira , en utilisant un triangle constitué de B, C, et du pôle nord A, que la plus courte distance entre B et C, mesurée sur un grand cercle (distance loxodromique ou géodésique) est :

III CAS PARTICULIER DU TRIANGLE RECTANGLE EN A

Comme la trigonométrie sphérique est souvent utilisée pour des repérages terrestres, avec souvent 2 cercles très particuliers et orthogonaux : l'équateur terrestre et une méridien ou un parallèle quelconque et un méridien, ce cas revêt un intérêt particulier. Le lecteur pourra s'exercer à retrouver les relations ci-dessous.

Exemple, pour les points survolés :

Le triangle sphérique à considérer est S''NS'~ ABC rectangle en A. B = S'NS'' = i, NOS' = a = q+w, S''Os' = l_S = b. La relation des sinus donne immédiatement le résultat cherché, à savoir :

Formule importante déjà rencontrée.

IV EXCES SPHERIQUE ET SURFACE DU DU TRIANGLE SPHERIQUE

L'excédent ( ou encore excès sphérique) est le nombre :

E = ^A+ ^B+^C - 180°

avec les angles au sommet exprimés en degrés.

On peut démontrer ( ce qui constitue le théorème de Girard ) que l'aire du triangle sphérique ABC , sur une sphère de rayon R, est S :

S = (^A + ^B + ^C - p)R² = E R².

Avec naturellement les angles exprimés en radian. Vous pourrez ainsi retrouver l'aire de la sphère de rayon R (4pR² )

Autres sites traitant de la trigonométrie sphérique :

http://chronomath.irem.univ-mrs.fr/chronomath/Girard.html

http://astro.u-strasbg.fr/~fresneau/exerc/exo1/exo1.html ( exercices d'astronomie)

http://astroti.free.fr/astroti/calc/astrosph.html

Guiziou Robert décembre 2004